يرتكز " البرهان " الثاني لثابت على المصادرة التالية : إذا رسم أحد طرفَيْ قطعة مستقيم ، ثابتة الاتّجاه ، خطّاً مستقيماً ، فإنّ الطرف الآخر من هذه القطعة يرسم كذلك خطّاً مستقيماً ( أو بتعابير أخرى أنّ خطّاً مستقيماً يتحوّل بالانسحاب إلى خطٍّ مستقيم ) . يبرهن ثابت أوّلًا أنّه ، إذا كان لمضلّعٍ رباعي زاويتان متساويتان عند قاعدته وضلعان جانبيّان متساويان ( هذا المضلّع يُدعى مضلّع ساكّيري ( Saccheri ) « 1 » ( ، فإنّ الزاويتين الباقيتين تكونان متساويتين ) وبالعكس ، إذا كانت الزاويتان متساويتين عند عند كلٍّ من القاعدتين المتقابلتين ، تكون الأضلاع المجاورة لهاتين القاعدتين متساوية ( . ممّا سبق ، يستنتج ابن قرّة أوّلًا ، أنّ خطّين مستقيمين عمودين على خطٍّ مستقيم ثالث ، تكون المسافات فيما بينهما متساوية ) وبرهان ما سبق يستدعي " الأصول " ، I ، 17 ) « 2 » ، ثمّ يستنتج من ذلك أنّه ، إذا ما قُطِع خطّان مستقيمان تتساوى فيما بينهما المسافات بقاطع ، فإنّ الزاويتين المتبادلتين الداخليّتين تكونان متساويتين ( تدخل في هذه البراهين إمكانيّة مدِّ عمودٍ على خطٍّ مستقيم من نقطة خارج هذا الخط " الأصول " ، I ، 12 - ووحدانيّة هذا العمود التي تُستُنتج من " الأصول " : I ، 16 ، وكذلك موضوعة باش ) . ويستنتج ابن قرّة بعد ذلك ، كما في البرهان الأوّل ، المصادرة الخامسة ، مبرهِناً وجود نقطة تقاطع لأيّ خطّين مستقيمين يُشكّلان ، إذا ما قُطِعا بقاطعٍ ، زاويتين داخليّتين مجموعهما أقلّ من زاويتين قائمتين . وقد خصّص الرياضيّ الكبير ابن الهيثم ( المتوفّى بعد العام 1040 ) ، رسالتَين للمصادرة الخامسة « 3 » . في الرسالة الأولى ، يبرّر أوّلًا ، بفضل الحركة ، وجود خطّين مستقيمين تكون المسافات فيما بينهما متساوية ، ومفهوم الخطّين المستقيمين اللذين تكون المسافات فيما بينهما متساوية ، هذا المفهوم الذي ، كما في البرهان الثاني لثابت ، حلَّ محلَّ مفهوم الخطّين المستقيمين المتوازيين . ويبرهن لاحقاً ، بالخُلف ، ما يلي : إذا كان لمضلّع رباعي 3 زوايا قائمة ، يكون له ضلعان متقابلان متساويان ( يَدخل في برهانه ، علاوةً عن الحركة ، وحدانيّة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين ، أي أنّ خطّين مستقيمين لا يمكن أن يحيطا بسطح ) ، ثمّ يستنتج أنّ الزاوية الرابعة قائمة أيضاً . عند ذلك يبرهن المصادرة الخامسة مبرهناً وجود نقطة تقاطع لأيّ خطّين مستقيمين يشكّلان ، إذا ما قُطعا بقاطع ، زاويتين داخليّتين مجموعهما أقل من زاويتين قائمتين ؛ يبرهن ذلك أوّلًا في حالة كون الزاويتين الداخليّتين حادّتين ، ثمّ في حالة كون إحدى الزاويتين قائمة ، وأخيراً في حالة كون إحدى الزاويتين منفرجة ( وتدخل في برهانه موضوعة باش وموضوعة أرخميدس كما تدخل إمكانيّة مدِّ عمودٍ إلى خطٍّ مستقيم من نقطةٍ خارج هذا الخط ووحدانيّة هذا العمود ) . في الرسالة الثانية ، يتوقّف ابن الهيثم عن محاولة برهان المصادرة الخامسة ، لكنّه يقترح استبدالها بمصادرة أخرى ، هي بالنسبة إليه " أظهر من تلك عند الحسّ وأوضح للنفس " وهي التالية : خطّان

--> ( 1 ) - نِسبة إلى الرياضي الإيطالي ساكّيري ، من القرن الثامن عشر ( المترجِم ) . ( 2 ) - " الأصول " I ، 17 : في كل مثلّث ، إذا ما جُمِعت زاويتان ، أيّاً كانتا ، من الزوايا الثلاث ، فإنّ مجموعهما أقلّ من زاويتين قائمتين ( الترجمة الفرنسيّة ل - ب . فيتراك ( B . Vitrac . ) ) ( 3 ) - ابن الهيثم ، " شرح مصادرات كتاب أقليدس في " الأصول " " ، باربرا هوبر سود ( Barbara Hooper Sude ) ، وفق المخطوطات بودليان ( Bodleian ) I ، 908 / 1 ( هاتّنغتن ( Huttington ) 237 ) ، الجزائر 1446 / 1 ، فايزالله 1359 / 2 . ابن الهيثم ، " كتاب في حلِّ شكوك أقليدس في الأصول وشرح معانيه " ، سزكين ، ( نسخة شبيهة لمخطوطة أ . ي . ( A . Y . ) 800 ، مكتبة جامعة إسطنبول ، أتمّتها مخطوطة Or . 516 ، مكتبة جامعة لايدن ) ، فرانكفورت ، 1985 ، ص 24 - 27 .